منصور دانا

در اینجا مطالعه فشرده ای روی تمامی عملگرهای پارانرمال و هیپونرمال در B(H) انجام خواهد شد. عملگر T ∈ B(H) پارانرمال است اگر به ازای هر z در مجموعه حلال T، داشته باشیم d(z,s(T))||(T-zI)||-1=1 که در آن d(z,s(T)) مسافت از z تا s(T) است. عملگر T هیپونرمال است اگر T*T-TT*≥0یا اگر T*T-TT*≤0 . ρ شامل مجموعه عملگرهای نرمال η و عملگرهای هیپونرمال می‌باشد. همچنین ρ در φ قرار دارد مجموعه ای از تمام T ∈ B(H) بطوری که غلاف کوژ طیف T برابر است با بستار دامنه عددی T. بنابراین می‌توانیم داشته باشیم، η ⊆ ρ ⊆ φ. خواصی از عملگرهای پارانرمال و هیپونرمال را ارائه خواهیم نمود. شرایطی را که سبب ایجاد مفاهیم پارانرمال، هیپونرمال، N-پارانرمال و N-هیپونرمال شده را به طور دقیق توضیح خواهیم داد.

در این پایان نامه قضیه فوگلد-پاتنم را برای عملگرهای p- هیپونرمال و log- هیپونرمال مورد بررسی قرار می دهیم. فرض می کنیم T عملگری روی فضای هیلبرت p ، H- هیپونرمال یا log- هیپونرمال باشد و نشان می دهیم که برای برخی عملگرهای کراندار X روی فضای هیلبرت H، اگر XT*=TX آنگاه خواهیم داشت XT=T*X که این مطلب تعمیمی از نتیجه پاتل می باشد. همچنین نشان می دهیم برای عملگر p- هیپونرمال یا log- هیپونرمال *T و عملگر غالب S ، برای برخی عملگرهای کراندار مانند X اگر XT=SX باشد، آنگاه XT*=S*X خواهد بود.

در این پایان نامه به مطالعه و بررسی برخی از کلاس های جدید از عملگرها روی فضای هیلبرت موسوم به (m, n)‐توانی D‐نرمال[DN] و (m, n)‐توانی D‐شبه نرمال [DQN] وابسته به عملگر معکوس درازین با استفاده از معکوس درازین آن پرداخته شده است. همچنین برخی از خواص عملگرهای (m, n)‐توانی D‐نرمال[DN] و (m, n)‐توانی D‐شبه نرمال [DQN] بررسی شده و مثال های آورده شده اند.

در این پایان نامه، به معرفی انواع جمع و ضرب، روی ماتریس ها همچنین طیف آنها می پردازیم. در ادامه با استفاده ازمفهوم طیف، جمع کرونکر و ضرب کرونکر ماتریس ها طیف دو خانواده از انواع ماتریس های هنکل پاد سه- قطری را به دست می آوریم. در ادامه نشان خواهیم داد که روش های ارائه شده در این پایان نامه، برای به دست آوردن طیف ماتریس های پاد سه-قطری، سریع و هزینه محاسباتی کمی دارند.

در این پایان نامه، فرمول هایی برای وارون درازین مجموع دو ماتریس تحت شرایط خاصی به ترتیب، ارائه می دهیم. این شرایط ضعیف تر از شرایط برخی مقالات روی این موضوع هستند. اضافه براین، نتایج خود را به کار می بریم تا نمایش هایی برای وارون درازین ماتریسهای بلوکی با متمم شور تعمیم یافته ی صفر، ارائه دهیم. در بخش دوم، کلاس های جدیدی از عملگرها ی وابسته به یک عملگر وارون پذیر درازین با استفاده از وارون درازین آن، معرفی می کنیم. برخی روابط بین این کلاس ها و برخی از ویژگی های اساسی این عملگرها را مطالعه می کنیم. همچنین، قضیه ی جابجایی فوگلد-پاتنام را برای این عملگرها ی معرفی شده ثابت می کنیم. در نهایت، یک نتیجه ی خیلی مهم روی عملگرهای نرمال، منسوب به کاپلانسکی، را برای ماتریس های D- نرمال، D- شبه نرمال، n- توانی D- نرمال و ماتریس های n- توانی D- شبه نرمال ثابت می کنیم.

در این پایان نامه به مطالعه روابط بین مجموعه z- ایدالهای اول ( C (x و z-ایدالهای ( C (Y می پردازیم که Y زیر فضای X میباشد از جمله نشان میدهیم اگر Y برابر ( Coz (f باشد یک تناظر یک به یک بین مجموعه z- ایدالهای اول ( C (x و ( C (Y وجود دارد

در این پایان نامه به مطالعه و بررسی مفهوم جدید شبه ترتیب در مجموعه تمام عملگر های کراندار بین فضاهای با ناخ می پردازیم. هچنین، در ادامه نتایج به دست آمده از مفهوم شبه ترتیب های یک ماتریس مختلط که معکوس پذیر درازین می باشد را به حالت های کلی تری گسترش می دهیم.

در این پایان نامه معکوس درازین ماتریس های بلوکی که بلوک (2،2) آنها صفر می باشد را تحت تبدیل های متشابه مناسبی مشخصه سازی می کنیم. از این نتایج می توان برای بدست آوردن معکوس درازین ساختارهای مختلف ماتریسها وبرخی حالت های خاص استفاده کرد.

در این پایان نامه نگاشت های نگه دارنده معکوس درازین روی فضای عملگرهای کراندار فضایی هیلبرت مورد مطالعه قرار می گیرند. در واقع ساختار چنین نگاشت هایی مشخصه سازی می شوند.

در این پایان نامه به بررسی قانون مرتبه معکوس سه تایی، برای معکوس درازین تعمیم می پردازیم و در ادامه برای این جملات معکوس درازین تعمیم یافته ماتریس های بلوکی در جبر باناخ را نیز بدست می آوریم. همچنین چندین نمایش برای معکوس درازین تعمیم یافته ماتریس بلوکی غیر مثلثی در جبر های باناخ را برای فرم تعمیم یافته باناخ‐شور ارائه می دهیم.

در این پایان نامه، قاعده ی ساروس را برای محاسبه ی دترمینان ماتریس های مربعی مرتبه های بالاتر از سه تعمیم می دهیم. و همچنین به تعمیم قاعده ی لاپلاس یا بسط دترمینان بر اساس یک سطر و یک ستون به kسطر و kستون می پردازیم. و نیز بعضی از کاربردهای دترمینان را در زمینه های زیر مورد استفاده قرار می دهیم، که عبارتند از: محاسبه ی مشتق ‐nام توابع کسری، تعیین تحدب و تقعر توابع، بخش پذیری بر اعداد اول، اثبات نابرابری ها، تعیین مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، محاسبه ی مجموع توان های طبیعی اعداد طبیعی ابتدا از ،1حل بعضی از مسائل جبر مجرد، تعیین نوع مقاطع مخروطی و بحث در مورد علامت و ریشه های معادلات درجه ی دوم و سوم

هدف این پایان نامه بدست آوردن فرمولی برای معکوس درازین تعمیم یافته یک ماتریس بلوکی در جبر باناخ تحت شرایط مختلف است. همچنین استفاده از متمم شور تعمیم یافته ماتریس های بلوکی برای یافتن نمایش معکوس درازین تعمیم یافته ی آنها می باشد.

معکوس درازین برای اولین بار در سال 1958 معرفی گردید. در این پایان نامه نمایشی از معکوس درازین ماتریسهای بلوکی که درایه ( 2،2) آنها صفر است بررسی می شود. همچنین معکوس درازین تعمیمم یافته این نوع ماتریسهای بلوکی با توجه به خودتوانی طیفی و شبه قطبی بلوکهای آن مورد بررسی قرار می گیرد.

در این پایان نامه به بررسی فرمول هایی بر یافتن معکوس درازین دو ماتریس تحت شرایطی جدید می پردازیم. در ادامه از نتایج بدست آمده برای نمایش معکوس درازین ماتریسهای بلوکی با شرایط جدید استفاده می کنیم.

فرض کنید H ماتریسی بلوکی 2 در2 با بلوک (2،2) صفر، بلوک (1،1) A ، بلوک (1،2) B و بلوک (2،1) C باشد که A و B ماتریسهای مربعی معکوس پذیر درازین با شاخصهای بزرگتر یا مساوی 1 باشند. هدف این پایان نامه بدست آوردن شاخص درازین ماتریس H است، در صورتی که نرم خطای اختلال آن بزرگ باشد.

در این پایان نامه ردهای از ایده آل ها که ایده آل های تک جمله ای k- تجزیه پذیر نامیده می شوند را معرفی می کنیم. همچنین نشان داده می شود که رده ی ایده آل های k- تجزیه پذیر، مشمول در رده ی ایده آل های تک جمله ای دارای خارج قسمت های خطی می باشد.

الگوی علامتی یک ماتریس حقیقی مانند M، یک (1- ، 1 ، 0)-ماتریس است که با قرار دادن علامت هر درایه به جای آن درایه به دست می آید. فرض کنید( Q(M مجموعه ای از تمام ماتریس های حقیقی باشد که الگوی علامتی آنها با M یکسان است. برای هر عضو ( Q(M مانند N اگر معکوس های درازین M و N الکوی علامتی یکسانی داشته باشند، آنگاه می گویم M، معکوس درازین علامت دار، دارد. رد این پایان نامه، توصیف کاملی برای یک کلاس از ماتریس های ضد مثلثی با معکوس درازین علامت دار ارائه می دهیم و ویژگی های ماتریس های دو بخشی متقارن علامتی با معکوس درازین علامت دار را توصیف خواهیم کرد.

فرض کنیم (C(X جبر تمام توابع پیوسته حقیقی مقدار روی یک فضای کاملاً منظم X و (C*(X زیر جبر توابع کراندار باشد. تناظر شناخته شده ای بین کلاس معینی از z- فیلتر ها روی X و ایده آل های محض در (C*(X وجود دارد که منجر به قضایای مشابهی از آنها در (C(Xمی شود. این تناظر به وسیله ردلین و واتسون به هر جبر بین (C*(X و (C(Xتعمیم داده شده است. در این فرایند آنها یک کلاس از ایده آل ها را که نقش مشابهی با z- ایده آل ها در ساختار (C(X بازی می کنند رامشخص کرده اند.مانشان می دهیم که این ایده آل ها دقیقاً اشتراک ایده آل های ماکسیمال هستند. همچنین می دانیم که هر جبر A بین (C*(X و (C(X حلقه کسرهای (C*(X نسبت به یک زیر مجموعه بسته ضربی می باشد. از این نمایش برای مشخص کردن توابعی که به همه ایده آل های ماکسیمال آزاد در A تعلق دارند، استفاده می کنیم.

در سال 2001 نیومن به بررسی ساختار گروه ها بر اساس زیر مجموعه های خاصی از آنها پرداخت. فرض کنید $G$ یک گروه و $\eta یک کلاس از گروه های پوچتوان باشد. $G$ را یک $-\eta(m,n)$ گروه، گوییم اگر برای هر دو زیر مجموعه $M$ و $N$ به ترتیب از مرتبه های $m$ و $n$ عناصر $x\inM$ و $y\inN$ وجود داشته باشند به طوری که $\in \eta$ .\\ در این پایان نامه گروه های Gرا که در شرط $\eta(m , n)$ صدق می کنند را، مورد بررسی قرار می دهیم. ما حدس می زنیم که هر $\eta(m , n)$ -گروه نامتناهی، پوچتوان ضعیف است. (یعنی هر زیر گروه دو مولده از G پوچتوان است.)\\ از طرفی ثابت می کنیم که اگر G یک گروه غیر حل پذیر متناهی باشد که در شرط $\eta(m , n)$ صدق کند، آنگاه $\mid G\vert \leqslant Max\lbrace m,n\rbrace C^{2Max\lbrace m,n\rbrace ^2 }[log_{60}^{Max(m,n)}]!$ که در آن $C\leqslant Max\lbrace m,n\rbrace$ همچنین با اثبات اینکه یک $\eta( m,n)$ -گروه، گروهی حل پذیر است هر زمان که $m+n<59$ یک شرط کافی برای حل پذیری بدست می آوریم. در آخر ثابت می کنیم که کران 59 نمی تواند بهبود پیدا کند. در واقع تساوی برای یک گروه غیر حل پذیر برقرار است اگروتنها اگر $G\cong A_{5}$ که در آن $A_{5}$گروه متناوب از درجه 5 است.

فرض کنید A یک جبر مثلثی باشد. در این پایان نامه دو مشتق جدیدی به نام اکسترمال( extremal ) را معرفی می کنیم و نشان می دهیم که تحت شرایط خاصی روی مولفه های جبر A ، هر دو مشتق A ، مجموع یک دو مشتق اکسترمال و یک دو مشتق داخلی است. سپس با استفاده از این نتیجه، ساختار دو مشتق های جبرهای بالا مثلثی بلوکی را مورد بررسی قرار خواهیم داد. بررسی این سوال که چه زمانی هر مشتق یک جبر مثلثی یک مشتق داخلی است، و نیز بررسی ساختار دو مشتق های چپ حلقه ی بالا مثلثی از اهداف دیگر پایان نامه ی حاضر می باشد. آخرین بخش این پایان نامه به مشتق حلقه های نیمه اول 2- بی تاب اختصاص دارد.

در این پایان فرمولی برای معکوس درازین ماتریس عملگر - بلوک 2×2 با متمم شور تعمیم یافته ی معکوس پذیر درازین ارائه شده و شرایط لازم و کافی برای وجود معکوس گروه و عبارتی برای بیان آن، مورد مطالعه قرار گرفته است.

روش باقیمانده مینیمال ( MINRES ) برای کلاس خاصی از سیستم های خطی با ماتریس ضرایب نرمال که طیف آنها متعلق به منحنی جبری از درجه ی پایین k می باشد ساخته شده است. تفاوت این روش با روش شناخته شده ی GMRES در زیر فضاهایی است که جواب تقریبی به آن تعلق دارد. در این مقاله حالت 2,3=k را بررسی می کنیم. نتایج عددی ارائه شده برتری روش MINRES را نسبت به روش GMRES نشان میدهد.

در این پایان نامه خواص اساسی ایده آل های تک جمله ای دارای خارج قسمتهای خطی، و ارتباط آنها با پوسته پذیری مجتمع های سادکی و مدولهای تمیز مورد بررسی و مطالعه قرار گرفته است. مفهوم خارج قسمتهای خطی به منظور ساختن یک تحلیل خطی برای ایده آل های مدرج معرفی گردید. این مفهوم ترکیبیاتی است، در حالی که مفهوم تحلیل خطی یک مفهوم جبری است. نشان مدهیم اگر $I$ دارای خارج قسمت خطی باشد، آنگاه یک ترتیب خطی از مولدهای $I$ که از لحاظ درجه صعودی یافت می شود و $mI$ نیز ترکیب خطی دارد. همچنین نشان مدهیم پوسته پذیری مجتمع های سادکی و خارج قسمتهای خطی داشتن یک ایدن آل تک جمله ای دوگان هم هستند.

در این پایان نامه به بررسی ویزگی های z –ایدآل ها پرداخته و سیر تکاملی z -ایده آل ها را در هر حلقه به ویژه حلقه توابع پیوسته که معرفی مفهوم z -ایده آل از آنجا و توسط کهلز آغاز شده است رامطالعه می کنیم. ایده آل هایی در (C(X که معادل جبری و توپولوژیکی دارند، جهت بررسی فضاها های X در حلقه (C(X و به عنوان پل ارتباطی میان خواص توپولوژیکی فضای Xو خواص جبری حلقه (C(Xبسیار قابل توجه اند که z -ایده آل و انواع دیگری از ایده آل ها با نام {sqrt{z\-ایده آل و :{sqrt{z^0\-ایده ال ها از این نوع می باشند که در این پایان نامه به مطالعه آنها می پردازیم و در نهایت نشان خواهیم داد که z-ایده آل ها و {sqrt{z\-ایده آل هاو {sqrt{z^0\-ایده ال هادر حلقه (C(X معادل هستند. علاوه بر این در بخشی از این پایان نامه به بررسی ایده آل های اول در حلقه (C(X و زیر حلقه های مطلقا محدب آن می پردازیم و در واقع نشان خواهیم داد که مجموع دو ایده ال اول نه تنها اول است بلکه z- ایده آل نیز هست که به ارتباط بین z -ایده آل ها و ایده آل اول اشاره می کند.

در این پایان نامه نمایشهایی برای معکوس درازین ماتریسهای بلوکی 2x2 تحت شرایط ضعیفتری

از آنچه در مقالات اخیر که با این عنوان بیان شده اند را ارائه می دهیم. در فصل اول این پایان نامه چنین نمایش هایی را ارائه می دهیم. در فصل دوم و سوم فرمول هایی برای معکوس درازین جمع ها ،تفاضلات و حاصلضرب هایی از خودتوان ها ارئه داده می شود.

در فصل چهارم ، تعدادی از حالات طیفی برای معکوس درازین خودتوان ها را بیان می کنیم و در فصل پنجم ، نمایش های بلوکی معکوس درازین ماتریس های دوبخشی ارائه می شود.

معکوس درازین نخستین بار در سال 1958 توسط درازین ارائه شد. در این پایان نامه ابتدا معکوس درازین یک ماتریس را بیان کرده،سپس معکوس درازین ماتریس بلوکی را تحت شرایط خاصی بررسی می کنیم. معکوس درازین ماتریس ها دارای کاربردهای جالبی در حل معادلات دیفرانسیل منفرد، معادلات تفاضلات منفرد،زنجیر های مارکوف و روش های تکراری در آنالیز عددی است. مسئله ی مهمی که در این پایان نامه بررسی می شود یافتن فرمولی برای معکوس درازین ماتریس غیر مثلثی است.

هدف اصلی این پایان نامه پالایش تکراری جواب های تقریبی مسائل مقدار ویژه ی متقارن می باشد. چون پس از تقریب جواب های مسائل جبر خطی عددی خصوصا مسائل مقدار ویژه گاها بسته به وضع مسئله مورد بررسی و حتی با وجود توان و پایداری روش حل باز هم ممکن است برخی از جواب ها دقت کافی را نداشته باشند، لذا بهره گیری از ایده پالایش تکراری جواب های تقریبی بسیار ضروری است. ما پالایش مقادیر ویژه ی استاندارد و تعمیم یافته را مورد مطالعه قرار می دهیم. معیارهای تعیین کفایت دقت جواب ها خطاهای پسرو و پیشروی زوج مقادیر ویژه می باشند. ابتدا خطاهای پسرو و پیشروی زوج ویژه های تقریبی تولید شده توسط هر یک از روش های چولسکی - QR و چولسکی - ژاکوبی را بررسی نموده و سپس خطاهای مذکور هر یک از زوج ویژه هایی که کاندیدای پالایش باشند را به کمک حل یک دستگاه معادلات غیر خطی مرتبط با بهره گیری از روش نیوتن بهبود می دهیم. به منظور بالا بردن کارایی کدهای مربوط به روش ها، بحث استفاده از محاسبات در دقت توسعه یافته و مخلوط نیز مطرح شده است.

هدف این پایان نامه مشخص کردن مجتمع های سادکی است که جبر پوششی راسی آنها استاندارد مدرج باشد. ثابت شده که اگر مجتمع سادکی هیچ دور فرد خاص با طول بزرگتر یا مساوی 3 نداشته باشد انگاه جبر پوششی راسی آنها استاندارد مدرج است.

در این پایان نامه فرض می کنیم که ماتریس های مختلط نرمال با مزدوج مختلطشان جابجا شوند.  نشان داده می شود که ماتریس های نرمال حقیقی متشابه متعامد جمع مستقیم بلوکهای 1x1 و 2x2 می باشند همچنین فرم کانونی برای ماتریس های شبه - نرمال ارائه می دهیم. در ادامه فرم خاصی از قضیه طیفی را برای ماتریس های نرمالی که با مزدوج مختلط خود جابجا می شوند ثابت می کنیم. 

در این پایان نامه ابتدا تعمیمی از رادیکال جکوبسون یک حلقه را معرفی و بررسی خواهیم کرد. در مدحله ی بعد به معرفی و بررسی مشتق جردن چپ تعمیم یافته یک حلقه میپردازیم. نتایج وابسته ی دیگری را نیز ندست خواهیم آورد.

در این پایانامه فرم کانونی سه قطری یک ماتریس مربعی، جفت هایی از ماتریس های متقارن،جفت هایی از ماتریس هایی که در آنها ماتریس اولی متقارن و دومی کج متقارن می باشد وجفت هایی از ماتریس های کج متقارن تحت همنهشتی و *همنهشتی روی یک میدان بسته جبری با مشخصه ی مخالف 2 ارائه وبررسی می شوند.

مساله توپلتس نرمال عبارت است از شناسایی و دسته بندی ماتریس هایی که همزمان توپلتس و نرمال باشند. اما مساله هنکل نرمال که مشکل تر از مساله ی توپلتس نرمال است، عبارت است از شناسایی و دسته بندی ماتریس هایی که همزمان هنکل و نرمال باشند. در این پایان نامه، ما هر دو مساله را بطور کامل حل کرده و ماتریس هایی از این دو نوع را دسته بندی خواهیم نمود.

در این پایان نامه به بررسی خواص ماتریس های نرمال -مزدوج و روابط هم ارز با نرمال-مزدوج بودن و کاربرد فرم یولا در آنها می پردازیم.